Теория чисел – это самостоятельная наука о целых числах. Но стоит сказать, что в разделе теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и огромное количество других целых чисел, а также рациональных и алгебраических чисел. Развитие теории чисел, и алгебры в частности, происходило естественно и довольно динамично. Огромное количество научных деятелей вложили в их эволюцию свои силы и время.
Зародившиеся и позже воплотившиеся в жизнь у Эйлера аналитические методы кардинально повлияли на теорию чисел. Они помогли решить множество проблем. Но Эйлер был не единственным, кто сделал прорыв в теории чисел и алгебре. Математик Гаусс впервые дал исключительное доказательство основной теоремы алгебры. А талантливый Жозеф Лиувилль доказал существование бессчетного количества трансцендентных чисел в 1844 году, а в 1851 году дал достаточный признак трансцендентности и сформировал примеры подобных чисел в виде суммы ряда. Немного позже, а именно в 1873 году, Шарлем Эрмитом было опубликовано доказательство трансцендентности числа Эйлера, а уже в 1882 году Линдеман применил этот метод к числу π. Примерно в тот же период происходят не менее важные и грандиозные открытия в области алгебры. Гамильтон открывает потрясающе удивительный некоммутативный мир кватернионов. А благодаря Минковскому зарождается геометрическая теория чисел.
Расцвет алгебры и теории чисел – заслуги великих математиков
Нельзя не отметить заслуги Эвариста Галуа, который, будто заглянув в будущие, представил в подробном виде глубокий анализ решения уравнений произвольных степеней. Главенствующими 
понятиями исследования оказываются алгебраические свойства связанных с уравнением полей расширения и группы подстановок. Кроме того, Галуа завершил разработки Абеля, который в свое время доказывал, что уравнения степени выше четвертой неразрешимы в радикалах. По мере вхождения в обиход и становления идей Галуа, со второй половины столетия, очень стремительно развивается алгебра. В 1850-е годы Кэли создает понятие абстрактной группы, в результате чего термин «группа» становится более популярным и входит практически во все сферы математики, а в в двадцатом веке внедряется в кристаллографию и физику. Кроме того, формируется понятие линейного пространства благодаря работам Кэли и Грассмана. В 1858 году Кэли открывает миру общую теорию матриц и определяет операции с ними, а также вводит понятие характеристического многочлена. И вот уже в 1870 году доказаны абсолютно все основные теоремы линейной алгебры, включая приведение к нормальной жордановой форме.
