Восемнадцатый век был веком анализа, а девятнадцатое столетие можно ознаменовать периодом геометрии. В этот временной промежуток довольно быстро и динамично развиваются созданная в конце восемнадцатого века проективная и начертательная геометрия. Кроме того, зарождаются новые разделы, такие как геометрия Лобачевского, векторный анализ и векторное исчисление, теория групп преобразований и многомерная риманова геометрия. Помимо всего прочего, в девятнадцатом веке происходит интенсивная алгебраизация геометрии – в ней зарождаются теории групп, топологии и алгебраическая геометрия.
После публикации превосходной, максимально полной работы Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях», где хорошо определена метрика и связанная с ней внутренняя геометрия поверхности, дифференциальная геометрия получила довольно мощный толчок к развитию. Исследования по этой теме продолжила парижская школа.
Гаусс, Карл Фридрих
Воплощение новых идей
В девятнадцатом столетии крупнейшим достижением в области геометрии считается введение понятия векторного поля и непосредственно самого вектора. Первым, кто эти значения ввел, был У. Гамильтон, наряду со своими кватернионами, скалярным и векторным произведением, а также дифференциальными операторами и многими другими понятиями векторного анализа, в частности определением тензорного произведения и вектор-функции.
У. Гамильтон
Второе дыхание в 19-м веке обрела проективная геометрия. После полутора столетий забвения она вновь привлекла внимание таких научных деятелей, как Монж, Понселе и Лазар Карно. В этот период был сформулирован «принцип непрерывности», позволяющий моментально распределить некоторые качества исходной фигуры на фигуры, полученные из нее же непрерывным преобразованием.
Жан-Виктор Понселе
Вторая половина девятнадцатого столетия характеризуется геометрическими работами Лобачевского. Заявление, что даже у классической геометрии существует альтернатива, произвело настоящий фурор и огромное впечатление на весь большой научный мир. Лобачевский также поспособствовал переоценке множества уже устоявшихся стереотипов в физике и математике.
В 1872 году наступил еще один переломный момент в развитии геометрии. Феликс Клейн систематизировал геометрические науки по применяемой группе преобразований – проективные, аффинные, вращения, общие непрерывные и прочие. Каждый геометрический раздел изучает инварианты соответствующей группы преобразований. Сверх прочего, Клейном были пересмотрены изоморфизмы, то есть структурные тождества, что поспособствовало зарождению нового этапа алгебраизации геометрии, второго после великого Декарта.
